Matematik ve Psikolojinin Kesiştiği Kule: Hanoi

Matematik ve psikolojinin kesiştiği noktalar nadirdir. O kesişim noktalarından birisi de Hanoi kuleleridir. Hanoi kulesi, Brahma kulesi olarak da bilinmektedir. 1883 yılında Fransız matematikçi E. Lucas tarafından icat edilmiş bir bulmacadır. Bulmacadaki amaç, solda üst üste duran diskleri her seferinde bir disk olmak şartıyla sağ tarafa taşımaktır. Hiçbir disk, kendinden küçük diskin üzerine konulmamalı ve mümkün olan en az hamle sayısıyla oyun tamamlanmalıdır.

Bu bulmacanın bir Hindu tapınağı efsanesiyle bağlantılı olduğu düşünülmektedir. Efsaneye göre genç rahiplere üç direkten birinin üzerine düzgünce dizilmiş 64 altın disk verilirdi. Rahiplere bir oyun oynayacakları eğer kazanırlarsa bu altın diskleri götürebilecekleri söylenirdi. Her disk kendinden biraz daha büyük bir diskin üzerinde bulunuyordu. Rahiplerin amacı ise, daha büyük bir diskin asla daha küçük bir diskin üzerine yerleştirilemeyeceği kuralına uyarak ve her seferinde sadece bir disk aktararak diskleri başka bir direğe taşımaktı. Yani başka bir direk üzerinde yığını yeniden oluşturmak!

Bu problemin çözümü için 18446744073709551615 hamle gereklidir. Rahipler matematiği kullanarak, sorunu çözmenin en kısa yolunu bulup diskleri saniyede bir hareket ettirseler bile bulmacayı bitirmeleri neredeyse 585 milyar yıl alacaktır. Peki bu kulenin çözümünü nasıl yapılır?

Bir disk ya da iki diskle bu oyunu oynamak bir anlam ifade etmez. Bir diskle tek hamlede çözüme ulaşabilirsiniz. Oyunda üç diskten itibaren belli kalıplar ortaya çıkmaya başlar. Dört veya daha fazla disk için örnek olarak hesaplayacak olursak öncelikle ilk hamleyi bulmamız gerekir. Bir, iki ve üç diskli kuleler dikkate alındığında dört disk kullandığımız kulede ortadan başlamamız gerekir. En küçüğü ortaya alırsak, bir büyüğünü sağa alıp küçüğü de onun üstüne alarak üç hamlede iki disk problemini çözmüş oluruz. Bundan sonra işlem üç disk problemini çözmek olur. Aşağıdaki görseli incelersek problemin 15 adımda çözüldüğünü görebiliriz. 

Bunları formülize ettiğimiz zaman bir algoritma karşımıza çıkacaktır. Bu da Pascal üçgeni ve Hanoi grafiğiyle ilişkilendirilerek elde edilebilmektedir. Örneğin üç disk kullanıldığında bu problemin çözümünde, ilk üç hamle ile iki disk problemi çözülür. Bir hamle ile büyük disk hedefe konulur. Sonra üç hamle ile iki disk üst üste eklenir. Yani yapılan işlem 3+1+3=7’dir. Dört disk kullanılması durumunda problem 15 hamlede çözülür. Üç diski ortada toplamak 7 hamle almıştı, bundan sonraki bir hamle dördüncü diski sağa almaktır. Sonraki hamle ise yedi hamlede üç diski en büyük diskin üzerine almaktır. Yapılan işlem bu durumda 7+1+7=15 olmaktadır. Buradan hareketle basit bir mantıkla beş disk probleminin 31 hamlede çözüleceğini görebiliriz. Altı disk problemi ise 63 adımda çözülür. Bunu kurallaştıracak olursak "2ⁿ-1"  formülünü elde ederiz. n yerine 64 yazdığımızda en başta belirttiğimiz hamle sayısına ulaşırız. Yani 18446744073709551615’e.

Peki tüm bunların psikoloji ile bağlantısı nedir? Hanoi Kulesi matematikle psikolojiyi nerede birleştirmektedir? Bir süredir psikologlar hastaların önceden plan yapma ve bir görevi daha küçük parçalara ayırma yeteneklerini gözlemlemek için Hanoi Kulesi’ni kullanıyorlar. Bu bulmacayı ya da oyunu bir kişiye açıklamak kolaydır. Bir kişinin her adımı izleyerek düşünme sürecini gözlemleyebilirsiniz. Bir disk ekleyerek ya da kurallarını değiştirerek bulmacayı zorlaştırmak da mümkündür. Hanoi Kulesi testi, nöropsikolojide "frontol lob" etkisi veya bozukluğu ile bağlantılı bilişsel eksiklileri değerlendirmek için dahi kullanılabilmektedir. Bulmacanın tüm potansiyelinden faydalanmak matematiksel yeterlilik hatta uzmanlık gerekmektedir. Matematikçilerin psikologlarla kesiştiği nokta da burasıdır.